Ồ! "A course of Mathematical Analysis" của S.M.NIKOLSKY, NXB Mir. Sách nước ngoài...!
Luỹ thừa với số mũ là một phân số tối giản có mẫu số lẻ là một trường hợp mà ta có thể định nghĩa được dựa vào khái niệm căn thức. Cái đó chắc tất cả giáo viên Toán Việt Nam mình đều có thể tự biết được.
À! Nhưng khi nói về
luỹ thừa với số mũ là một số hữu tỷ (
chung chung, chấm hết) thì ta và học sinh của ta phải hiểu sao bây giờ. Hổng lẻ phải đưa số phức, rồi còn hàm đa trị,.v.v. nữa vô chương trình phổ thông để nói; hay là phải nói, ừ trường hợp thế này thì định nghĩa vậy vậy đó, còn trường hợp thế kia thì thế này, thế này nè,...
Đặt vị trí bạn là người viết sách giáo khoa thì ở chỗ này bạn sẽ viết như thế nào. Nói thiệt, ở phổ thông, tôi không biết định nghĩa cho nó ra sao khi muốn bỏ đi ĐK a>0 mà vẫn vét hết được tất cả các trường hợp về số mũ là số hữu tỷ.
Tôi nghĩ, tác giả sgk giới hạn ĐK a>0 lại trước là để định nghĩa trọn vẹn cho khái niệm
luỹ thừa với số mũ hữu tỷ. Có thế thôi. Còn đối với dân Toán, định nghĩa sao thì làm Toán theo như vậy, đã đ/n cho HS như thế rồi thì làm sao cho các em viết số theo kiểu
^{\frac{1}{3}})
được.
========================================================================
Còn về chuyện đưa ra tính hợp lý của một định nghĩa là chuyện có thật 100%.
Tôi còn nhớ, hồi tôi còn học Đại học ở ĐH An Giang, có rất nhiều thầy ở ĐHSP.TPHCM xuống dạy cho bọn SV khoá I chúng tôi, các thầy ấy rất quan tâm đến vấn đề này. Đặc biệt hơn hết là thầy Lê Anh Vũ và thầy Nguyễn An Sum. Thường đối với các định nghĩa quan trọng, các thầy không định nghĩa liền, mà trước khi đưa ra định nghĩa, các thầy chứng minh cho sự tồn tại của khái niệm cần định nghĩa đó (Nói theo cách hiểu của tôi là: có thì mới gọi tên, còn không có thì gọi để làm gì. Trong lớp không có ai tên An mà ông thầy cứ gọi An ơi, An à hoài thì cả lớp nghĩ làm sao đây).
Có lần, tôi còn nhớ, thầy An Sum đi chứng minh một điều gì đó, chứng minh rất dài, rất chặt chẽ, thầy rất tâm đắc chứng minh của mình. Chứng minh xong điều đó, thầy mới đi định nghĩa (đặt tên) cho một đối tượng vừa được chứng minh luôn tồn tại trong đó. Viết định nghĩa xong, thầy đứng một mình trên bụt mà nói "Hảo định nghĩa, hảo định nghĩa", nói xong thầy nói với cả lớp đại khái là: muốn định nghĩa 1 điều gì đó ta phải chứng minh nó tồn tại như vậy đó, thầy nhắc lại 3 từ "Hảo định nghĩa" 1 lần nữa. Các bạn lớp ĐH1A3 chắc chắn còn nhớ.
Đó, tính hợp lý của định nghĩa là vậy đó.
Rõ ràng, nếu đưa ra khái niệm luỹ thừa với số mũ hữu tỷ mà không giới hạn ĐK a>0 thì sẽ có khi không tồn tại luỹ thừa này. Định nghĩa sẽ không hợp lý.
------------------------------------------------------------------------------------
Trong sách giáo khoa hiện hành cũng có chỗ quan tâm đến vấn đề chứng minh cho cơ sở của định nghĩa nữa.
Bạn hãy đọc trang 71-72, sgk-Hình học12-chuẩn.Bài toán 1 và bài toán 2 được đưa ra trước khi có định nghĩa. Định nghĩa thì cứ định nghĩa đi, đưa ra 2 bài toán đó để làm gì?
Bài toán 1 đưa ra là để thấy rằng mọi mặt phẳng đều có thể đặt tương ứng với một phương trình xác định dạng Ax+By+Cz+D=0
Còn bài toán 2 thì giải quyết vấn đề: mỗi PT dạng trên đại diện được cho một mặt phẳng xác định (và không dại diện cho đối tượng hình học nào khác). Rõ ràng, PT dạng đó dùng được để định nghĩa một khái niệm liên quan đến mặt phẳng.
