Tìm chỗ sai trong bài toán quy nạp

[Dương Phước Sang]

Bất chợt soạn lại tài liệu cũ thấy có 1 bài toán quy nạp sai, xin giới thiệu với các thầy cô chơi cho vui.

Xét mệnh đề: "Mọi số tự nhiên đều được biểu diễn bởi cùng 1 điểm trên trục số, tức là chúng bằng nhau"

Dưới đây là phần quy nạp để chứng minh mệnh đề trên đúng.

   + Lấy bất kỳ 1 số tự nhiên, hiển nhiên số tự nhiên đó được biểu diễn bởi 1 điểm trên trục số (mệnh đề trên đúng với 1 số tự nhiên)
   + Giả sử lấy số tự nhiên tùy ý thì chúng được biểu diễn bởi cùng 1 điểm trên trục số.
   + Ta chứng minh lấy số tự nhiên bất kỳ chúng cũng được biểu diễn bởi cùng 1 điểm trên trục số.
      Thật vậy, lấy số tự nhiên sau đây: .
      Theo giả thiết quy nạp: là   số tự nhiên nên chúng được được biểu diễn bởi cùng 1 điểm trên trục số, nghĩa là

(1)

      Tương tự

  (2)

      Từ (1) và (2) ta suy ra

(tính chất bắt cầu của các số tự nhiên)

Hay số tự nhiên đã lấy ở trên được biểu diễn bởi cùng 1 điểm trên trục số.

Tóm lại bằng quy nạp ta đã chứng minh được "Mọi số tự nhiên đều được biểu diễn bởi cùng 1 điểm trên trục số, tức là chúng bằng nhau"

Vậy chứng minh trên sai ở chỗ nào?

Bài toán này do thầy Lê Thái Bảo Thiên Trung - ĐHSP.TPHCM phát biểu

[khanhcvliem]

Bài toán này cũng giống bài toán CM tất cả các cô gái đều có cặp mắt giông nhau
Với n=1 cặp mắt của cô ấy giống với cặp mắt của cô ấy hiễn nhiên
Giả sử n cô gái đều có cặp mắt giống nhau ta chứng minh n+1 cô gái cũng có mắt giống nhau
Chọn n cô gái trong n+1 cô theo giả thiết quy nạp nó đúng với mọi n cô nên n cô gái này có cặp mắt giống nhau, bỏ 1 cô gái thêm với cô chưa chọn, ta lại có n cô nên  tất cả các cô này đều có cặp mắt giống nhau, do vậy n+1 này đều có cặp mắt giống nhau
theo nguyên lí quy nạp tất cả các cô gái đều có cặp mắt giống nhau!.

[tohoai]

Theo tôi khi nói n số tự nhiên và để so sánh chúng thì điều kiện phải là n > 1 nên khi quy nạp phải xét từ giá trị nhỏ nhất của n là 2 chứ không phải 1.

[Dương Phước Sang]

Mời thầy cô tiếp tục thảo luận bài toán trên. Bài toán không được phát biểu dựa vào sự so sánh hai số tự nhiên mà xét sự biểu diễn của số tự nhiên trên trục số.

Do vậy,
     + Một số tự nhiên cũng vẫn biểu diễn được trên trục số một cách bình thường.
     + Giả thiết quy nạp của chứng minh cũng chỉ là sự biểu diễn các số tự nhiên trên trục số
     + Còn phần chứng minh cho bước quy nạp cũng vẫn là sự biểu diễn của số tự nhiên.

Vì thế, theo em cái sai chính chưa nằm ở chỗ điều kiện của n vì theo cách phát biểu bài toán thì ta vẫn xét được cho n = 1 (rõ ràng 1 được biểu diễn bởi 1 điểm trên trục số nên mệnh đề vẫn đúng)

[shalasmall]

Theo tôi,ý nghĩa của việc chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học là "dùng nhiều người để thuyết phục một người". Do vậy, để chứng minh mệnh đề đúng với n+1 thì ta thường sử dụng giả thuyết là mệnh đề đúng với số n ở trước nó. Nên lưu ý đây là n sô trước nó, nghĩa là phải bắt đầu từ số nhỏ nhất đến số thứ n. Nên bạn sử dụng biểu thức x(2) = x(3) = ... = x(n+1) là sai ý nghĩa thực thụ của nó. Bài chứng minh trên sai từ nguyên tắc cơ bản của phương pháp quy nạp?